Das Sierpinski-Dreieck

Das Sierpinski-Dreieck gehört zu den bekanntesten und berühmtesten Fraktalen.
Die Erstellungsvorschrift ist wie bei vielen Fraktalen relativ einfach, liefert aber ein komplexes Gebilde. Das Sierpinksi-Dreieck besitzt eine Eigenschaft, die für viele Fraktale typisch ist: Selbstähnlichkeit.

Man nehme ein gleichseitiges Dreieck und verbinde die Mittelpukte der drei Seiten, so daß vier neue gleichseitige Dreicke entstehen. Entferne das mittlere dieser Dreiecke.

Teile die drei äußeren Dreiecke und wiederhole die obigen Schritte.

Man nehme ein gleichseitiges Dreieck und wähle einen Startpunkt, der auf eine der Dreiecksseiten liegt.
Wähle zufällig eine Zahl zwischen 1 und 3 aus.
Wobei 1 die linke untere Ecke, 2 die rechte und 3 die obere Ecke bezeichnet.
Setze nun einen Punkt in der Mitte der Strecke zwischen der gewählten Ecke und dem Startpunkt.
Bestimme wieder zufällig eine Ecke und verfahre erneut wie oben beschrieben.
Bei genügend vielen iterationen entsteht das Sierpinski-Dreieck.

Als Ausgangsform dient der Initiator. In Falle des Siepinski-Dreiecks handelt es sich dabei um ein gefülltes, gleichseitiges Dreieck.

Der Generator, der die Bauanleitung für das Fraktal darstellt, ist das ursprüngliche Dreieck, welches um Höhe und Breite halbiert und jeweils als Kopie in die Ecken des Initiators platziert wird.

Jedes gefüllte Dreieck wird nun durch eine entsprechend verkleinerte Version des Generators ersetzt.
Nach einigen Wiederholungen (Iterationen) entsteht hierdurch das Sierpinski-Dreieck in immer genauerer Ausprägung.

Ein internationales Forscherteam hat ein Fraktale in der Natur entdeckt, das so bislang noch nicht beobachtet wurden.

"Ein mikrobielles Enzym – die Citrat-Synthase eines Cyanobakteriums – bildet spontan ein regelmäßiges fraktales Muster, das sogenannte Sierpinski-Dreieck. Elektronenmikroskopische und evolutionsbiochemische Untersuchungen deuten darauf hin, dass dieses Fraktal ein evolutionärer Zufall sein könnte.

Schneeflocken, Farnblätter, Romanesco-Blumenkohlköpfe: In der Natur trifft man immer wieder auf Formen, deren einzelne Bestandteile wie das Ganze aussehen. Solche Formen, die sich vom Großen bis ins Kleinste in sich selbst wiederholen, werden Fraktale genannt. Regelmäßige Fraktale, bei denen die Übereinstimmung zwischen den Größenordnungen nahezu exakt ist, sind in der Natur sehr selten. [...] Moleküle können sich nämlich zu allen möglichen, wunderschönen Formen zusammensetzen; selbstorganisierte, komplexe Molekülstrukturen sind hinlänglich beschrieben worden. Allerdings fand sich darunter noch nie ein regelmäßiges Fraktal.

Ein internationales Forscherteam unter der Leitung von Gruppen des Marburger Max-Planck-Instituts und der Philipps-Universität Marburg ist jetzt auf das erste regelmäßige molekulare Fraktal gestoßen. Sie entdeckten ein mikrobielles Enzym – die Citrat-Synthase aus einem Cyanobakterium –, das sich spontan zu einem regelmäßigen fraktalen Muster, dem sogenannten Sierpinski-Dreieck, zusammensetzt.

„Wir sind ganz zufällig auf diese Struktur gestoßen und konnten es kaum glauben, als wir sie zum ersten Mal unter einem Elektronenmikroskop betrachteten", sagt Erstautorin Franziska Sendker. „Das Protein bildet diese wunderschönen Dreiecke, und während das Fraktal wächst, sehen wir die immer größeren dreieckigen Lücken in der Mitte, was anders ist als jede Proteinanordnung, die wir je zuvor gesehen haben", fährt sie fort. [...]

„Wir können nie ganz sicher sein, warum etwas in der Vergangenheit passiert ist. Doch in diesem Fall finden wir tatsächlich alle Merkmale eines evolutionären Zufalls: eine scheinbar komplexe biologischen Struktur, die ohne guten Grund entstanden ist, einfach weil es einfach sehr einfach war, sie zu entwickeln", sagt Hochberg.

Die Tatsache, dass etwas so komplex Aussehendes wie ein molekulares Fraktal in der Evolution so leicht entstehen konnte, lässt vermuten, dass noch mehr Überraschungen und viel Schönheit in bisher unentdeckten molekularen Anordnungen vieler Biomoleküle verborgen sein könnten."


Quelle: https://www.mpg.de/21808266/0410-terr-erstes-fraktales-molekuel-in-der-natur-entdeckt-153410-x

Originalveröffentlichung
Sendker, F.L.; Lo, J.K.;  Heimerl, T.;  Bohn, S.; Persson, L-J.; Mais, C.N.; Sadowska, W.; Paczia, N.; Nußbaum, E.; del Carmen Sánchez Olmos, M.; Forchhammer. K.; Schindler, D.;  Erb, T.J.;  Benesch, J.L.P.; Marklund, E.; Bange, G.; Schuller, J.M.; Hochberg, G.K.A.
Emergence of fractal geometries in the evolution of a metabolic enzyme
 
Nature April 10 (2024), DOI: 10.1038/s41586-024-07287-2

Auszugsweise wiedergegeben mit freundlicher Genehmigung von Dr. Georg Hochberg.