Komplexe Zahlen


Geschichtlicher Hintergrund

Der Umgang mit komplexen Zahlen ist bereits seit dem 17. Jahrhundert bekannt, seitdem aber etwas in Vergessenheit geraten und wird an den Gymnasien eher selten thematisiert.

Zunächst wendete man die Rechenregeln der reelen Zahlen auf die komplexen Zahlen an, ohne sich darüber Gedanken zu machen, warum Regeln, die für eindimensionale Zahlen entwickelt wurden auch für zweidimensionale Zahlen gelten.

Zahlen sind zweidimensional

Man fragte sich nun, ob es nicht auch noch höherdimensionale Zahlen geben könnte.

Diese Frage konnte erst durch David Hilbert (1862-1943), einem der bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit, negativ beantwortet werden.

Über dem System der reellen Zaheln liegt das System der komplexen Zahlen mit den gleichen Operationen. Dieses System ist nach Hilbert abgeschlossen:
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

Was sind komplexe Zahlen?

Für eine quadratische Gleichung "ax² +bx +c = 0" erhält man nur dann eine reelle Lösung, wenn in in der sogenannten Mitternachtsformel die Diskriminante positiv ist.

(also b² - 4ac > 0)

Es existiert keine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist.

Mitternachtsformel

Seit Mitte des 17. Jahrhunderts wird folgende symbolische Schreibweise benutzt, um eine Zahl darzustellen, deren Quadrat negativ ist:

imaginäre Zahl "i"

Man benutzt also "i" als eine neue Zahl mit der folgenden Eigenschaft:

Beispiel:

x² - 2x + 10 = 0


Lösung:

Gaußsche Zahlenebene

für x1 = 1+3i gilt: (1 + 3i)² - 2(1 + 3i) + 10 = 1 + 6i - 9 - 2 - 6i + 10 = 0
für x2 = 1-3i gilt : (1 - 3i)² - 2(1 - 3i) + 10 = 1 - 6i - 9 - 2 + 6i + 10 = 0

Man nennt eine Zahl der folgenden Form eine komplexe Zahl:
z = a + bi | a,b ∈ ℝ

Für a ≠ 0, b ≠ 0 ist z=a reell, für a = 0, b ≠ 0 heißt z = bi (rein) imaginär.


Schreibweisen
a = Re(z) = Realteil von z
b = Im (z) = Imaginärteil von z

Es liegt nahe, die beiden reellen Zahlen a,b einer komplexen Zahl z=a+bi als Zahlenpaar (a,b) zu schreiben und diese als Vektor bzw. Punkt einer Ebene aufzufassen.
Es entsteht dadurch eine Zahlenebene.

Zu dieser Idee gelangte Carl Friedrich Gauß (1777-1855) noch bevor Vektoren erfunden wurden.
Senkrecht zur Zahlenebene x wird eine imaginäre Achse y mit der Einheit i angeordnet.
Somit konnte jeder komplexen Zahl z=a+bi = (a,b) umkehrbar eindeutig ein Punkt (a,b) in der Zahlenebene zugeordnet werden.
Diese Zahlenebene wird "Gaußsche Zahlenebene" genannt.

Zur x-Achse symmetrische Lösungen, wie im obigen Beispiel x1 und x2, werden konjugiert Komplex genannt.

Eulersche Formel

Die Eulersche Formel stellt eine Verbindung zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen her.

Die Schlichtheit und die Tatsache, dass die Grundrechenarten, die Exponentialfunktion, die Kreiszahl pi, die Eulersche Zahl e, sowie die Zahlen 0 und 1 integraler Bestandteil der Formel sind, kann einen nur in Erstaunen versetzen.