Buddhabrot und Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung


Das "Buddhabrot" stellt eine besondere Abbildung der Menge der komplexen Zahlen dar und ist sehr eng mit der Mandelbrotmenge verwandt.

Den passenden Namen erhielt die Abbildung aufgrund der Ähnlichkeit zum meditierenden Buddha, welche augenfällig wird, wenn man das Fraktal um 90° dreht:
 

Buddhabrot - Sven Fauth
Buddhabrot - Sven Fauth
Buddhabrot - Sven Fauth
Buddhabrot - Sven Fauth

Mandelbrotmenge

Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller Punkte "c" der komplexen Zahleneben, für welche die rekursiv definierte Folge:

zn+1 = zn2 + c

mit z0 = 0 beschränkt bleibt, also nicht gegen unendlich divergiert.

Buddhabrot

Das Buddhabrot wird - im folgenden vereinfachend dargestellt - durch eine Dichteverteilung beschrieben, die wie folgt berechnet wird:

Zuerst werden die Punkte der komplexen Zahlenbene berechnet, welche nach einer festgelegte maximalen Anzahl an  Iterationen (Bailout) gegen unendlich divergieren, also nicht zur Mandelbrotmenge gehören.
Diese werden daraufhin in einem zweiten Schritt erneut in die Mandelbrotfunktion eingesetzt. Dadurch werden diejenigen Bereiche hervorgehoben, in denen diese Werte die meiste Zeit auf dem Weg in die Unendlichkeit verbringen.

 

Zusammenhang zwischen der Mandelbrotmenge und dem Bifurkationsdiagramm der logistischen Gleichung

Die Mandelbrotmenge und die logistische Gleichung λx (1-x) stehen durch die folgende quadratische Transformation im Zusammenhang:

 

 

Animation von Rymaer

(unverändert)

[CC BY 3.0], via

Wikimedia Commons

 


Buddhabrot & Anti-Buddhabrot

Buddhabrot - Sven Fauth
Buddhabrot - Sven Fauth
Anti-Buddhabrot - Sven Fauth
Anti-Buddhabrot - Sven Fauth