Die Cantor-Menge besteht aus unendlich vielen selbstähnlichen Teilmengen. Diese geometrische Struktur findet sich auch in anderen
fraktalen Mengen wie der Julia- und Mandelbrotmenge wieder. In der Mathematik hat die Cantor-Menge viele Anwendungen und ihre Eigenschaften sind von großem Interesse für die
Forschung.
Die Cantor-Menge ist nach dem Mathematiker Georg Cantor (1845 - 1918) benannt.
Die Cantor-Menge wird durch das Entfernen von einer unendlichen Anzahl von Teilintervallen aus einem Ausgangsintervall konstruiert. Das Verfahren besteht aus dem Entfernen mittlerer Drittel eines Intervalls, wodurch die Menge immer weiter zerlegt wird, bis nur noch unendlich viele Punkte übrig bleiben.
Konstruktion der Cantor-Menge mittels folgender iteration:
Man beginnt mit einem festgelegten Intervall z.B. [0,1].
Man entfernt nun aus diesem Intervall das mittlere Drittel, also im Beispiel alle Zahlen, die zwische 1/3 und 2/3 liegen.
Es bleiben also die Intervalle [0, 1/3] und [2/3, 1] übrig.
Man wiederholt die Prozedur im nächsten Schriutt und erhält 4 Intervalle:
[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1]
Von diesen Intervallen werden nun erneut die mittleren Drittel entfernt.
Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.
Im Gegensatz zu regulären geometrischen Objekten, die eine ganze Zahl an Dimensionen haben, können fraktale Strukturen wie die
Cantor-Menge auch gebrochene oder nicht-ganze Dimensionen aufweisen.
Die fraktale Dimension gibt Aufschluss darüber,
wie sich ein Objekt bei Vergrößerung verhält und wie stark es selbstähnlich ist. Obwohl die Cantor-Menge unendlich viele
Punkte enthält und damit eine unendliche Anzahl an "Teilchen" hat, nehmen diese Teilchen immer weniger Platz in der Gesamtstruktur ein. Beispielsweise nimmt die Länge der übrigbleibenden Segmente
nach jeder Iteration um den Faktor 1/3 ab - dadurch wird das Objekt immer filigraner, behält aber trotzdem seine grundlegende Form bei.
Die Hausdorff-Dimension der Cantor-Menge liegt zwischen 0 und 1 und kann mit Hilfe des Logarithmus bestimmt werden:
D= ln(2) / ln(3) = 0,6309...
Dies folgt aus der Tatsache, dass in jedem Konstruktionsschritt 2 Kopien der Menge erzeugt werden, die um den Faktor 1/3 skaliert werden.