Das Sierpinski-Dreieck


Das Sierpinski-Dreieck gehört zu den bekanntesten und berühmtesten Fraktalen.
Die Erstellungsvorschrift ist wie bei vielen Fraktalen relativ einfach, liefert aber ein komplexes Gebilde. Das Sierpinksi-Dreieck besitzt eine Eigenschaft, die für viele Fraktale typisch ist: Selbstähnlichkeit.

Bauanleitung für ein Sierpinski-Dreieck

Man nehme ein gleichseitiges Dreieck und verbinde die Mittelpukte der drei Seiten, so daß vier neue gleichseitige Dreicke entstehen. Entferne das mittlere dieser Dreiecke.

Teile die drei äußeren Dreiecke und wiederhole die obigen Schritte.

Sven Fauth - Fraktale Kunst - Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Dreieck

Baunleitung für das Sierpinski-Dreieck mit Zufallsprinzip

Man nehme ein gleichseitiges Dreieck  und wähle einen Startpunkt, der auf eine der Dreiecksseiten liegen sollte.
Wähle zufällig eine Zahl zwischen 1 und 3 aus.
Wobei 1 die linke untere Ecke, 2 die rechte und 3 die obere Ecke bezeichnet.
Setze nun einen Punkt in der Mitte der Strecke zwischen der gewählten Ecke und dem Startpunkt.
Bestimme wieder zufällig eine Ecke und verfahre erneut wie oben beschrieben.
Bei genügend vielen iterationen entsteht das Sierpinski-Dreieck.

Bauanleitung mit Initiator und Generator

Als Ausgangsform dient der Initiator. In Falle des Siepinski-Dreiecks handelt es sich dabei um ein gefülltes, gleichseitiges Dreieck.

Der Generator, der die Bauanleitung für das Fraktal darstellt, ist das ursprüngliche Dreieck, welches um Höhe und Breite halbiert und jeweils als Kopie in die Ecken des Initiators platziert wird.

Jedes gefüllte Dreieck wird nun durch eine entsprechend verkleinerte Version des Generators ersetzt. Nach einigen Wiederholungen (Iterationen) entsteht hierdurch das Sierpinski-Dreieck in immer genauerer Ausprägung.